拓扑Hochschild同调与Zeta值

利用Antieau与Bhatt-Morrow-Scholze的工作，我们为有界挠拟lci环的拓扑Hochschild同调及其变体$TP$与$TC^-$定义了一种滤子，其在$p$-进完备后恢复BMS滤子。随后我们用相对于基环$\mathbb{Z}$的Hodge完备导出de Rham上同调计算了此滤子的分次片。我们将从$\mathrm{gr}^{n}TC^-(-)$到$\mathrm{gr}^{n}TP(-)$的典范映射的余纤维记为$L\Omega^{<n}_{-/\mathbb{S}}[2n]$。设$\mathcal{X}$为维数$d$、在$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$上正常的正则连通概形，并令$n\in\mathbb{Z}$为任意整数。结合具紧支集的Weil-étale上同调$R\Gamma_{W,c}(\mathcal{X},\mathbb{Z}(n))$，复形$L\Omega^{<n}_{\mathcal{X}/\mathbb{S}}$有望精确给出Zeta值$\pm\zeta^*(\mathcal{X},n)$。将本文证明的结果与近期同Flach合作工作中证明的定理结合，我们得到一个联系$L\Omega^{<n}_{\mathcal{X}/\mathbb{S}}$、$L\Omega^{<d-n}_{\mathcal{X}/\mathbb{S}}$、archimedean纤维$\mathcal{X}_{\infty}$带Tate扭$n$与$d-n$的Weil-étale上同调、Bloch导子$A(\mathcal{X})$以及Zeta函数$\zeta(\mathcal{X},s)$的archimedean Euler因子在$s=n$与$s=d-n$处的特殊值的公式。该公式是Zeta函数函数方程的一个影子。