由群自同构实现的拓扑群作用与巴拿赫表示

我们研究拓扑群通过自同构在群上的作用的巴拿赫可表示性（特别地，群通过共轭在自身上的作用）。此类每个作用在某个巴拿赫空间上都是巴拿赫可表示的。自然的问题是考察我们何时能在低复杂度巴拿赫空间上找到表示。与局部紧第二可数群 $G$ 在自身上的标准左作用相反，即使对于 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$，共轭作用也不必是自反可表示的。对于每个 $n \geq 4$，$\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$ 的共轭作用不是 Asplund 可表示的。对于每个 $n \geq 2$，$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的线性作用不能在 Asplund 巴拿赫空间上表示。另一方面，该作用可在 Rosenthal 巴拿赫空间（不包含 $l_1$ 的同构拷贝）上表示。局部紧群的共轭作用不必是 Rosenthal 可表示的（即使对李群亦然）。对于 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ 这一点尚不清楚。作为副产品，我们获得了关于齐性 $G$-作用 $G/H$ 的巴拿赫表示的一些反例。