含任意时间函数的动力学偏微分方程的拓扑电荷与守恒律

具有空间散度形式的动力学偏微分方程拥有涉及任意时间函数的守恒律。在一维空间中，此类守恒律被证明描述了与$x$无关的源/汇的存在；在二维及更高维空间中，它们被证明描述了一种拓扑电荷。我们展示了两个应用。首先，拓扑电荷产生一个关联的空间势系统，从而可为给定动力学偏微分方程找到非局部守恒律与对称性。其次，当一个守恒密度除该任意时间函数本身外还涉及其对时间的导数时，其在任意给定空间域上的积分可化为边界积分，这在某些情况下可对动力学偏微分方程适定所需的初值/边界数据施加限制。我们借助应用数学与可积系统理论中若干非线性偏微分方程的例子阐明了这些新结果。