对数不变量的拓扑性态

设 $\ell$ 为一个有理素数，$K$ 为一个数域。我们证明附着于 $K$ 的 $\mathbb{Z}_{\ell}^{d}$-扩张 $K_{d}$ 的对数模 $X_{d}$ 是一个 noetherian $\Lambda_{d}$-模。此外，在 Gross-Kuz'min 猜想下我们证明它也是 torsion 的。我们利用这一事实来推导 $\mathbb{Z}_{\ell}$-扩张的对数不变量 $\tilde{\mu}$ 与 $\tilde{\lambda}$ 的局部与整体信息。