TQFT中的Toeplitz算子：基于辫理论

拓扑量子场论将有限维厄米空间$V_r(\Sigma,c)$与带标记点的曲面$\Sigma$、水平$r$以及标记点处的颜色$c\in\{1,...,r-1\}$相关联。$\Sigma$上的曲线$\gamma$在这些空间上作为厄米算子$T_r^\gamma$作用。对于带孔环面和4次穿孔球面的情形，我们证明了$T_r^\gamma$的矩阵元具有$\frac{1}{r}$幂次渐近展开，并利用$\su$中曲面表示空间上的迹函数确定了前两项。我们推测了一般情形的公式。然后，我们证明了曲线算子是球面上的Toeplitz算子，即$T_r^{\gamma}=\Pi_r f^\gamma_r\Pi_r$，其中$\Pi_r$是Toeplitz投影子，$f^\gamma_r$是球面上的一个显式函数，在极点之外光滑。利用此公式，我们证明了在关于标记点颜色的某些假设下，序列$T^\gamma_r$是通常意义下的Toeplitz算子，其主象征等于迹函数，并且次领头项被显式计算。我们利用这一结果和半经典分析来计算$\Sigma$的映射类群在$V_r(\Sigma,c)$上表示的矩阵元的渐近行为。我们由此恢复了Taylor和Woodward关于量子6j符号渐近性的结果，并处理了带孔S矩阵的情形。最后，我们给出了当$\Sigma$是无标记点的亏格2曲面时的一些部分结果。