圆周上接触哈密顿-雅可比方程的时间周期解

我们关注如下方程的非平凡时间周期粘性解的存在性与多解性：$$\partial_t w(x,t) + H( x,\partial_x w(x,t),w(x,t) )=0,\quad (x,t)\in \mathbb{S} \times [0,+\infty).$$ 通过分析动力系统 $(C(\mathbb{S} ,\mathbb{R}),\{T_t\}_{t\geqslant 0})$ 的渐近行为（其中 $\{T_t\}_{t\geqslant 0}$ 在 \cite{WWY1} 中引入），我们发现当 $\frac{\partial H}{\partial u}(x,p,u)\leqslant-\delta<0$ 时存在无穷多个具有不同周期的非平凡时间周期粘性解。此外，基于 $T_{t_n}\varphi$ 的收敛性，我们得到了 $T_t$ 的非平凡周期点的存在性，其中 $\varphi$ 为满足某些性质的初值。这是上述方程以 $\varphi$ 为初值的解的长期行为结果。最后，作为应用，我们向读者描述了当参数 $\lambda$ 符号变化时，$$\partial_t w(x,t) + H( x,\partial_x w(x,t),\lambda w(x,t) )=0,\quad (x,t)\in \mathbb{S} \times [0,+\infty),$$ 的分岔现象。单位圆 $\mathbb{S}$ 的结构在此起着本质作用。最重要的新颖之处是发现了 $(C(\mathbb{S} ,\mathbb{R}),\{T_t\}_{t\geqslant 0})$ 的非平凡回归性。