通过统一 Itô-Stratonovich 随机方程向 q-高斯稳态的时间演化

我们考虑一类包含外场、加性噪声与乘性噪声的单粒子一维随机方程。我们使用参数 $\theta \in [0,1]$ 来统一传统的 Itô 和 Stratonovich 方法，二者分别作为 $\theta=0$ 和 $\theta=1/2$ 的特例被还原，以此推导出相应的 Fokker-Planck 方程 (FPE)。该 FPE 是一个线性方程，其稳态由 $q$-高斯分布给出，其中 $q = \frac{\tau + 2M (2 - \theta)}{\tau + 2M (1 - \theta)}<3$，这里 $\tau \ge 0$ 表征约束外场的强度，$M \ge 0$ 是乘性噪声的（归一化）幅度。我们还计算了标准峰度 $\kappa_1$ 和 $q$-广义峰度 $\kappa_q$（即使用伴随分布代替直接分布的标准峰度）。通过这两个量，我们对分布的时间演化进行了数值追踪。最后，我们展示了如何将这些量用作便捷的校准，以从通过实验、观测或数值计算获得的数值数据中确定指标 $q$。