由有色噪声随机扰动的平均曲率流

我们研究超曲面 $(\gamma_t)_{t\geq 0}$ 在二维有界区域中依据由 $\dot{w}^Q$（$Q$-Wiener 过程 ${w}^Q$ 的形式时间导数）扰动的平均曲率的演化运动。具体而言，我们将描述 $\gamma_t$ 演化的方程视为一个在 Stratonovich 意义下带乘性噪声的随机偏微分方程（SPDE），其向内速度 $V$ 由 $V=\kappa\,+\,G \circ \dot{w}^Q$ 确定，其中 $\kappa$ 为平均曲率，$G$ 为由 $\gamma_t$ 确定的函数。已知仅依赖于时间变量的噪声的结果不适用于我们的方程。为构造描述 $\gamma_t$ 的方程的局部解，我们将导出关于由 $\gamma_0$ 确定的带符号距离函数的某个二阶拟线性 SPDE。随后我们利用概率工具以及经典 Banach 不动点定理在适当的 Sobolev 空间上构造该局部解。