传统稀疏与组稀疏压缩感知的紧致性能界限

在本文中，我们研究从少量线性测量中恢复组稀疏向量的问题。过去，常用的方法是使用各种“组稀疏诱导”范数（如 Group LASSO 范数）来实现此目的。通过使用凸松弛理论，我们表明也可以使用 $\ell_1$-范数最小化进行组稀疏恢复。我们引入了一个称为组稳健零空间性质（GRNSP）的新概念，并证明在适当条件下，限制等距性质（RIP）的组版本（GRIP）蕴含 GRNSP，从而导致组稀疏恢复。当所有组大小相等时，我们的界限比已知界限更不保守。此外，我们的结果甚至适用于组大小不同的情况。当特化到传统稀疏时，我们的界限简化为稀疏恢复的一个著名的“最佳可能”条件。GRNSP 与 GRIP 之间的这种关系即使对于传统稀疏也是全新的，并且大大简化了一些已知结果的证明。利用这种关系，我们推导了所有 $p \in [1,2]$ 而不仅仅是 $p = 2$ 时残差误差向量的 $\ell_p$-范数界限。当测量矩阵由次高斯随机变量的随机样本组成时，我们给出了测量次数的界限，这些界限比目前已知的界限更不保守。