竞赛图中 Hamilton 圈幂次的紧界

图论中的一个基本结论表明，任何具有大于 $\frac{n-2}{4}$ 的入度和出度的 $n$ 顶点竞赛图都包含一条 Hamilton 圈，且这是紧的。1990 年，Bollobás 和 Häggkvist 显著推广了此结论，证明对任意固定的 $k$ 和 $\varepsilon > 0$，以及足够大的 $n$，所有度数至少为 $\frac{n}{4}+\varepsilon n$ 的竞赛图都包含 Hamilton 圈的 $k$ 次幂。迄今为止，在确定度数条件中更精确误差项方面，或在理解 Bollobás-Häggkvist 定理中 $n$ 应多大方面，均无任何进展。我们基本上解决了这两个问题。首先，我们证明若度数至少为 $\frac{n}{4} + cn^{1-1/\lceil k/2 \rceil}$（对某个常数 $c = c(k)$），则该竞赛图包含 Hamilton 圈的 $k$ 次幂。特别地，为保证 Hamilton 圈的平方，仅需一个常数加法项。我们还给出了一个构造，在模一个关于完全二部图 Turán 数的著名猜想下，表明误差项必须至少为 $n^{1-1/\lceil (k-1)/2 \rceil}$ 阶，这与我们对所有偶数 $k$ 的上界相匹配。对于奇数 $k$，我们相信下界可被改进。事实上，我们证明对于 $k=3$，存在度数为 $\frac{n}{4}+\Omega(n^{1/5})$ 且无 Hamilton 圈立方的竞赛图。此外，我们的结果意味着 Bollobás-Häggkvist 定理在 $n = \varepsilon^{-\Theta(k)}$ 时即成立，这是最优可能的。