磁哈密顿量几何扰动的谱移位函数阈值奇异性

我们考虑具有标量强度 $b>0$ 的常磁场 $B$ 的三维 Schr"odinger 算子 $H_0$，以及通过在有界域 $\Omega_{\rm in} \subset {\mathbb R}^3$ 边界上施加 Dirichlet（相应为 Neumann）条件得到的其扰动 $H_+$（相应为 $H_-$）。我们引入算子对 $(H_\pm,H_0)$ 的 Krein 谱移位函数 $\xi(E;H_\pm,H_0)$，$E \geq 0$，并研究它们在 Landau 能级 $\Lambda_q : = b(2q+1)$，$q \in {\mathbb Z}_+$ 处的奇异性，这些能级在 $H_0$ 的谱中起到阈值的作用。我们证明 $\xi(E;H_+,H_0)$ 当 $E \uparrow \Lambda_q$（$q \in {\mathbb Z}_+$ 固定）时保持有界，并获得 $\xi(E;H_-,H_0)$ 当 $E \uparrow \Lambda_q$ 时以及 $\xi(E;H_\pm,H_0)$ 当 $E \downarrow \Lambda_q$ 时的三项渐近展开。前两项与扰动无关，而第三项涉及 $\Omega_{\rm in}$ 在垂直于 $B$ 的平面上投影的{\em 对数容量}。