For relatively bounded perturbations, differentiation, Taylor series, and all order spectral shift functions

给定 $H$ 为自伴算子，$V$ 为对称算子且相对 $H$ 有界，以及满足一定温和条件的函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$，我们证明了泊松导数 $$\frac{d^n}{dt^n}f(H+tV)|_{t=0}$$ 在算子范数拓扑下存在，对每个自然数 $n$ 均如此。我们给出了该导数的新型显式公式，以多重算子积分表示，并在相对有界扰动下建立了有用的多重算子积分扰动公式。此外，若 $V$ 相对于 $H$ 的界限小于 1，则可给出充分条件，确保泊松展开 $$f(H+V)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dt^n} f(H+tV)\big|_{t=0}$$ 在算子范数下绝对收敛。最后，假设 $V(H-i)^{-p}\in\mathcal{S}^{s/p}$ 对于 $p=1,\ldots,s$ 且存在某个 $s\in\mathbb{N}$（例如，当 $H$ 是 $s-1$ 维空间上的阶为 1 的微分算子时），我们证明了克莱因-科普利enko 谱位移函数 $\eta_{k,H,V}$ 对于每个 $k=1,2,3,\ldots$ 都存在，且独立于 $s$。后者结果（相较于 \cite{vNS22} 显著更强）在 $V$ 为有界情况时亦为全新。其证明基于 \cite{PSS}，结合与 \cite{HMvN} 兼容的多重算子积分的推广。我们讨论了将结果应用于量子物理和非交换几何的可能性。