对称自映射的三个值范围

设 $\mathbb D$ 为单位圆盘，$z_0\in\mathbb D$。我们确定了值范围 $\{f(z_0)\,|\, f\in \mathcal{R}^\geq\}$，其中 $\mathcal{R}^\geq$ 是满足 $f(0)=0$ 且 $f'(0)\geq0$、在 $0$ 点幂级数展开中仅含实系数的全纯函数 $f:\mathbb D\to\mathbb D$ 的集合，以及更小的值范围 \{f(z_0)\,|\, f\in \mathcal{R}^\geq, \text{f 是典型实函数}\}。此外，我们描述了第三个值范围 $\{ f(z_0) \,|\, f \in \mathcal{I}\}$，其中 $\mathcal{I}$ 由上半平面 $\mathbb{H}$ 的所有具有流体力学归一化、且关于虚轴对称的单价自映射组成。