柯西过程的厚点

设 $\mathcal{T}(x,\eps)$ 表示柯西过程在命中 $(-\infty,-1]\cup [1,\infty)$ 之前，对以 $x$ 为中心、长度为 $2\eps$ 的区间的占据测度。我们证明当 $\eps\to 0$ 时，$\sup_{|x|\leq 1}\mathcal{T}(x,\eps)/(\eps(\ln\eps)^2)\to 2/\pi$ 几乎必然成立。我们还得到了厚点的多重分形谱，即对于满足 $\lim_{\eps \to 0} \mathcal{T}(x,\eps)/(\eps(\ln\eps)^2) = \alpha > 0$ 的 $\alpha$-厚点 $x$ 所成集合的豪斯多夫维数。