Cauchy过程的谱性质

我们研究了半直线$(0,\infty)$和区间$(-1,1)$上被杀死的一维Cauchy过程的转移半群的谱性质。该过程与带Dirichlet外部条件（在区域补集上）的一维拉普拉斯算子平方根$A = -\sqrt{-d^2/dx^2}$以及半平面中的混合Steklov问题相关。对于半直线，我们推导了$A$的广义本征函数$\psi_\lambda$的显式公式，并用于构造$A$的谱表示。由此得到了半直线上被杀死Cauchy过程的转移密度（或$(0,\infty)$中$A$的热核）以及首次离开半直线时间的分布的显式公式。$\psi_\lambda$的公式还用于构造区间中$A$的本征函数的近似。对于区间中$A$的本征值$\lambda_n$，我们推导了渐近公式$\lambda_n = n\pi/2 - \pi/8 + O(1/n)$，并证明所有本征值$\lambda_n$都是单重的。最后，应用有效的本征值$\lambda_n$数值估计方法，获得了前几个本征值精确到小数点后9位的数值上下界。