自相似波映射的谱性质与稳定性

本论文研究了从 3+1 维闵可夫斯基空间到三维球面 $S^3$ 的共转波映射的柯西问题，特别是奇点形成问题。数值计算表明，该模型的自相似解在动力学时间演化中起着至关重要的作用。特别是，据推测某个特定解 $f_0$ 定义了一种普适的爆破模式，即大量通用爆破初态的未来演化趋近于 $f_0$。因此，奇点形成与自相似解的稳定性性质密切相关。本文利用泛函分析方法研究了线性稳定性问题。特别地，给出了微扰算子的完整谱分析，并通过半群理论以及自伴算子的泛函演算证明了线性化柯西问题的适定性。这些结果导出了增长估计，从而提供了关于自相似波映射稳定性的信息。最后，研究了 $f_n$ 在大 $n$ 时的收敛性质及其相应微扰算子的谱。本论文旨在尽可能自包含，即仔细介绍了所有数学要求，包括许多可在别处找到的结果的证明。