球形势阱中的超相对论束缚态

我们处理一个超相对论（柯西）算子 $(-\Delta )^{1/2}$ 的特征值问题，其作用被限制于在三维修空间单位球内部之外消失的函数上。我们提供了这一无限球形势阱问题最低本征值与本征函数的高精度谱数据。我们的焦点在于本征函数的径向与轨道形状。谱由一组严格为正的有序本征值构成，自然分裂为不重叠的、按轨道标记的 $E_{(k,l)}$ 序列。对于每个轨道标记 $l=0,1,2,...$，标记 $k =1,2,...$ 枚举连续的第 $l$ 序列本征值。它们每一个都是 $2l+1$ 重简并的。$l=0$ 本征值序列 $E_{(k,0)}$ 与 $d=1$ 柯西势阱的偶数标记本征值集合相同：$E_{(k,0)}(d=3)=E_{2 k}(d=1)$。类似地，本征函数 $\psi_{(k,0 )}(d=3)$ 与 $\psi_{2k }(d=1)$ 显示出亲缘性。我们已识别出球形势阱本征函数的通用函数形式，其似乎由固体谐函数与合适的纯径向函数的乘积构成。评估后者的（近似）方法被发现遵循通用模式，这有效允许跳过所有有时复杂的中间计算（那些曾在计算 $l \leq 3$ 本征值时使用）。