作为外部解极限的 $\square_{1+3}U=0$ 柯西问题的径向解

我们考虑将具有径向数据的柯西问题的解实现为定义在以原点为中心的消失球的外部上的初边值问题的径向解的极限的策略。目标是在简单具体的环境中衡量此方法的有效性：三维线性波动方程 $\square_{1+3}U=0$ 具有径向柯西数据 $U(0,x)=\Phi(x)=\phi(|x|)$, $U_t(0,x)=\Psi(x)=\psi(|x|)$。我们主要感兴趣的是将其作为其他可能非线性方程的模型情形，那些方程对径向对称柯西问题既没有公式也没有抽象存在性结果。因此在处理三维波动方程时，我们坚持基于能量方法和强收敛的稳健论证。（特别地，本工作不讨论通过解公式能建立什么。）我们对三维波动方程的研究表明，虽然可以通过外部解获得径向柯西解的存在性，但不应期望此类结果是最优的。线性波动方程的标准存在性结果保证当 $(\Phi,\Psi)\in H^s\times H^{s-1}(\mathbb{R}^3)$ 时，在 $C([0,T);H^s(\mathbb{R}^3))$ 中存在唯一解。然而，在上述受限框架内，我们将通过外部解极限获得的解的正则性严格降低。我们还表明外部诺伊曼解比外部狄利克雷解产生更好的正则性。具体而言，对于 $H^2\times H^1(\mathbb{R}^3)$ 中的柯西数据，我们通过外部诺伊曼解获得 $H^1$-解，而仅通过外部狄利克雷解获得 $L^2$-解。