粒子-阱系统简单特征值的渐近行为

一维中的粒子阱问题是量子力学中的一个经典问题。我们研究了更高维的类比问题，其中阱是一个 $\mathbb{R}^d$ 中的光滑域。我们展示了对应的 Schrödinger 算子的简单特征值和特征函数关于平方根 $h$（即阱深度的倒数）的平滑依赖性，并在 $h = 0$ 处提供特征值的显式一阶展开。我们的证明包含两个步骤。在第一个步骤中，我们在一个解析为 $[0, 1)_h\times\mathbb{R}^d$ 的区域上构造 $\mathcal{O}(h^\infty)$ 类准特征函数（近似特征函数），从而捕捉阱边界处的细节结构。第二个步骤通过固定点 argument 将这些准特征函数纠正为真实特征函数。