微分同胚群在 1-维流形上无奇异作用

设 $M$ 为流形，$N$ 为 1-维流形。假设 $r \neq \dim(M)+1$，我们证明从 $\text{Diff}^r_c(M)$ 到 $\text{Homeo}(N)$ 的任意非平凡同态 $\rho$ 均具有标准形式：必有 $M$ 为 $1$-维，且存在可数个嵌入 $\phi_i: M\to N$ 其像互不相交，使得 $\rho$ 的作用（经由 $\phi_i$ 的乘积）共轭于 $\text{Diff}^r_c(M)$ 在 $M \times M \times ...$ 上、在 $\bigcup_i \phi_i(M)$ 上的对角作用，而在其余处平凡。这解决了 Matsumoto 的一个猜想。我们还证明了群 $\text{Diff}^r_c(M)$ 没有可数指数子群。