含高阶时间导数的理论及Ostrogradsky鬼场

牛顿第二定律、薛定谔方程和麦克斯韦方程都是至多含二阶时间导数的理论。确实，我们并不常需要对加速度取时间导数。那么为何我们少见更高阶导数的理论？尽管若干研究展示了高阶导数在二次引力与标量场理论中的用处，人们终将遇到一个问题。1850年，物理学家Mikhail Ostrogradsky提出一个定理，指出由有限高阶时间导数构成的非退化拉格朗日量会导致哈密顿量无下界。明确地说，此类系统的哈密顿量被证明包含对物理动量的线性依赖，常被称为Ostrogradsky鬼场。本论文研究如何通过考虑退化拉格朗日量对动量施加约束来避免Ostrogradsky鬼场。研究首先展示鬼场的存在，随后涵盖对二阶时间导数系统（包括单变量及与常规系统耦合的系统）进行哈密顿约束分析所需的本质哈密顿形式体系。最终，退化二阶拉格朗日量通过生成限制物理动量的次级约束成功消除了Ostrogradsky鬼场。此外，文末给出了通用高阶拉格朗日量的哈密顿分析纲要。