非单连通流形的 Yamabe 不变量

Yamabe 不变量是利用共形几何与数量曲率定义的闭光滑流形的一个不变量。最近，Petean 证明了对于所有维数 $\ge 5$ 的闭单连通流形，Yamabe 不变量非负。我们推广此结论，证明对于所有维数 $\ge 5$、基本群为奇阶且所有 Sylow 子群阿贝尔的闭流形，Yamabe 不变量非负。新的几何要点在于一种在 Toda 括号上研究 Yamabe 不变量的方法。类似的证明方法表明，所有维数 $\ge 5$、基本群为奇阶且所有 Sylow 子群为初等阿贝尔、其万有覆盖为非旋、且限制在同调类为“环面型”的流形之“补集”上的闭流形，容许正数量曲率的度量。例外的环面型同调类仅存在于不超过基本群“秩”的维数中，因此一旦维数足够大，这就证明了 Gromov-Lawson-Rosenberg 猜想的重要情形。