合取查询的 Weisfeiler-Leman 维数

Andreas Göbel; Leslie Ann Goldberg; Marc Roth

合取查询的 Weisfeiler-Leman 维数

离散数学 2024-03-12 v2 数据库计算机科学中的逻辑

作者: Andreas Göbel , Leslie Ann Goldberg , Marc Roth

摘要

图参数 $f$ 的 Weisfeiler-Leman (WL) 维数是最小的 $k$ ，使得若 $G_1$ 与 $G_2$ 不能被 $k$ 维 WL 算法区分，则 $f(G_1)=f(G_2)$ 。若不存在这样的 $k$ ，则 $f$ 的 WL 维数为 $\infty$ 。我们研究由固定合取查询在图中的答案数量所刻画的图参数的 WL 维数。给定合取查询 $\varphi$ ，我们量化将每个图 $G$ 映射到 $\varphi$ 在 $G$ 中答案数量的函数之 WL 维数。Dvorák (J. Graph Theory 2010)、Dell、Grohe 与 Rattan (ICALP 2018) 以及 Neuen (ArXiv 2023) 的工作已对完全合取查询（即无存在量词变量的合取查询）回答了该问题：对此类查询 $\varphi$ ，其 WL 维数等于 $\varphi$ 的 Gaifman 图树宽。本文给出适用于所有合取查询的刻画。对任意合取查询 $\varphi$ ，我们证明其 WL 维数等于语义扩展宽度 $\mathsf{sew}(\varphi)$ ——这是一个新的宽度度量，可视为 $\varphi$ 的树宽与其量化星大小的组合；后者是由 Durand 与 Mengel (ICDT 2013) 引入的不变量，描述 $\varphi$ 的存在量词变量如何与自由变量相连。利用 Morris 等人 (AAAI 2019) 近期建立的 WL 算法与高阶图神经网络 (GNN) 之间的等价性，我们由此得到：计算合取查询 $\varphi$ 答案数量的函数无法由阶数小于 $\mathsf{sew}(\varphi)$ 的 GNN 计算。

关键词

Weisfeiler-Leman 维数合取查询图参数语义扩展宽度树宽图神经网络量化星大小

引用

@article{arxiv.2310.19006,
  title  = {The Weisfeiler-Leman Dimension of Conjunctive Queries},
  author = {Andreas Göbel and Leslie Ann Goldberg and Marc Roth},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2310.19006},
  year   = {2024}
}

备注

39 pages, 4 figures, abstract shortened due to ArXiv requirements, an extended abstract of this work is accepted for publication in the proceedings of PODS 24

合取查询的 Weisfeiler-Leman 维数

摘要

关键词

引用

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