WL 遇见 VC

近来，许多工作通过将图神经网络（GNNs）的表达力与一维 Weisfeiler--Leman 算法（$1\text{-}\mathsf{WL}$）相联系来研究其表达力。此处 $1\text{-}\mathsf{WL}$ 是一个被充分研究的图同构问题启发式算法，它迭代地对图顶点集进行着色或划分。尽管这一联系在理解和增强 GNNs 表达力方面带来了显著进展，它并未提供对其泛化性能的洞察，即其在训练集之外作出有意义预测的能力。本文中，我们通过 Vapnik--Chervonenkis（VC）维理论的视角，在两种设定下研究 GNNs 的泛化能力，聚焦于图级预测。首先，当图的阶无已知上界时，我们证明 GNNs 权重的比特长度紧密界定其 VC 维。进一步，我们利用 $1\text{-}\mathsf{WL}$ 产生的颜色数推导了 GNNs 的 VC 维上界。其次，当图的阶有已知上界时，我们展示了 $1\text{-}\mathsf{WL}$ 可区分的图的数量与 GNNs 的 VC 维之间的紧密联系。我们的实证研究证实了理论发现的有效性。