加权塔塔楼问题：代数结构、相变与整数序列
组合数学
2026-05-22 v3 离散数学
摘要
我们发展了关于加权塔塔楼问题的统一代数理论，允许任意非负对称移动成本，这些成本取决于盘子索引和 peg 之间。从包含两种竞争策略的一般最优递推关系开始——一种最大盘子移动（one-LDM）和两种最大盘子移动（two-LDM）——我们推导了两种情形的完整矩阵形式，并获得了最小传输成本的显式闭式解。one-LDM 动力学由一个非平凡的线性算子控制，其谱分解揭示了与 Jacobsthal 序列和 Lichtenberg 序列之间的根本性联系；而 two-LDM 动力学表现为纯指数增长。该框架为广泛的权重模型提供了精确解，包括 peg 对称、盘对称、多项式、几何、算术和序列诱导成本。在特别是选择经典整数序列（斐波那契、Lucas、Jacobsthal、Pell、Euler 等）作为盘子权重时，会产生新的派生序列，具有显式公式和递推式，使塔塔楼问题成为序列生成变换。我们进一步引入并分析具有禁止移动和移动类型相关权重的模型，发现一种相变现象，即在小盘子处最佳策略为 two-LDM，而在超过有限阈值后转为 one-LDM。我们的结果提供了关于加权塔塔楼动力学的全面代数和组合理解，并暴露了最优解与经典整数序列之间的深层联系。
引用
@article{arxiv.2605.16956,
title = {The Weighted Tower of Hanoi: Algebraic Structure, Phase Transitions, and Integer Sequences},
author = {Andreas M. Hinz and El-Mehdi Mehiri},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.16956},
year = {2026}
}