$S$ 分量 KP hierarchy 的 $W_{1+\infty}(gl_s)$ 对称性

Adler、Shiota 与 van Moerbeke 为 KP 与 Toda 格 hierarchy 得到了一个公式，将顶点算符在 tau 函数上的作用翻译为伪微分算符的顶点算符在波函数上的作用。这将 KP 与 Toda 格 hierarchy 的附加对称性与 $W_{1+\infty}$（ respective $W_{1+\infty}\times W_{1+\infty}$）代数对称性相关联。本文将这些结果推广到 $s$ 分量 KP hierarchy。顶点算符生成代数 $W_{1+\infty}(gl_s)$，即 $W_{1+\infty}$ 的矩阵版本。由于 Toda 格 hierarchy 等价于 $2$ 分量 KP hierarchy，本文结果在该特例上揭示了比 Adler、Shiota 与 van Moerbeke 所得远为丰富的结构。