形式幂级数与分级代数的 Veronese 构造

设 $(a_n)_{n \geq 0}$ 为一个复数序列，其生成级数满足 $\sum_{n \geq 0} a_nt^n = \frac{h(t)}{(1-t)^d}$，其中 $h(t)$ 为某个多项式。对于任意 $r \geq 1$，我们研究 $h(t)$ 的系数级数到 $h^{< r >}(t)$ 的系数级数的变换，其中 $\sum_{n \geq 0} a_{nr} t^n = \frac{h^{< r >}(t)}{(1-t)^d}$。我们给出了该变换的精确描述，并表明在某些自然的温和假设下，当 $r$ 趋于无穷大时，$h^{< r >}(t)$ 的根收敛。特别地，如果 $\sum_{n \geq 0} a_n t^n$ 是标准分级 $k$-代数 $A$ 的 Hilbert 级数，则此结论成立。若此外 $A$ 是 Cohen-Macaulay 代数，则 $h^{< r >}(t)$ 的系数随 $r$ 单调递增。如果 $A$ 是单纯复形 $\Delta$ 的 Stanley-Reisner 环，则这与 $\Delta$ 的第 $r$ 次边细分相关，进而可得出关于相应 $f$-向量行为的若干推论。