Miller 基零点的变化

我们揭示了模形式 $q^m+O(q^{\ell+1})$ 的 Miller 基中零点的变化与 Szeg\H{o} 曲线的对数版本 $\mathcal{S}_\delta$ 之间的联系，其中 $\delta=m/\ell$。当 $\delta<0.6194$ 时，我们证明对于 $k\gg 0$，所有零点均位于单位弧上；而当 $\delta$ 渐近趋于 1 时，我们证明所有零点均位于 $\mathcal{S}_{\delta}$ 上。一般地，我们假设对于所有 $\delta$，零点均位于单位弧与对数 Szeg\H{o} 曲线的并集上，并得到了部分结果，同时给出了 $m/\ell$ 的猜想阈值，使得所有零点均位于单位弧上以及无零点位于弧上。最后，我们枚举了 $\ell-m\leq 25$ 以内 Miller 形式的所有代数零点。