van der Waerden单纯复形及其莱夫谢茨性质

van der Waerden单纯复形，记作${\tt vdw}(n,k)$，是一个单纯复形，其面对应于集合$\{1,\ldots,n\}$中长度为$k$的等差数列。我们研究Artinian环$A(n,k) = K[x_1,\ldots,x_n]/(I_{{\tt vdw}(n,k)} + \langle x_1^2,\ldots,x_n^2\rangle)$的莱夫谢茨性质，其中$I_{{\tt vdw}(n,k)}$是对应的Stanley--Reisner理想。当$k=1,2$或$n-1$时，环$A(n,k)$对所有$n > k$具有弱莱夫谢茨性质。当$k=3$时，我们对具有弱莱夫谢茨性质的环$A(n,3)$进行了分类。我们猜想当$n \gg k \geq 3$且$k$为奇数时，$A(n,k)$不具有弱莱夫谢茨性质。我们还分类了${\tt vdw}(n,k)$何时为伪流形，这使我们能够利用Dao和Nair的结果在某些次数上证明$A(n,k)$满足弱莱夫谢茨性质。