迈向 Welschinger 不变量的代数理论

设 $S$ 为特征 $\neq 2, 3$ 的域 $k$ 上的光滑 del Pezzo 曲面。我们定义 Grothendieck-Witt 环 $GW(k)$ 中的一个不变量，用于“计数”固定正次数（关于反典则丛 $-K_S$）的曲线类 $D$ 中的有理曲线，且包含 $S$ 上总次数 $r:=-D\cdot K_S-1$ 的一组不同闭点 $\mathfrak{p}=\sum_ip_i$。通过应用符号映射，这在 $k=\mathbb{R}$ 的情形下恢复了 Welschinger 不变量。主要结果是该二次不变量仅依赖于包含 $\mathfrak{p}$ 的 $\mathbb{A}^1$-连通分支，其中 $\mathfrak{p}\in Sym^r(S)^0(k)$，$Sym^r(S)^0$ 是 $Sym^r(S)$ 中参数化几何约化 0-闭链的开子概形。