流形上概率分布的拓扑结构

设 $P$ 为 $R^d$ 中 $n$ 个随机点的集合，这些点由 $m$ 维流形 $M \subset R^d$ 上的概率测度生成。本文研究了当 $n \to \infty$ 且 $r \to 0$ 时，$U(P,r)$（即围绕 $P$ 的 $d$ 维半径为 $r$ 的球的并集）的同调性质。此外，我们还研究了 $d_P$（即到集合 $P$ 的距离函数）的临界点。已知这两个对象通过莫尔斯理论相互关联。我们给出了 $U(P,r)$ 的 Betti 数以及 $d_P$ 的指标为 $k$ 的临界点数量的极限定理。取决于 $r$ 随 $n$ 增长而衰减至零的速度，这两个对象表现出不同类型的极限行为。在一种特定情况（$n r^m > C \log n$）下，我们证明了 $U(P,r)$ 的 Betti 数能完美重构原始流形 $M$ 的 Betti 数，这一结果在拓扑流形学习中具有重要意义。