初等理论完备化空间与随机超图的收敛定律

考虑 $n$ 个顶点上的随机 $(d+1)$-一致超图的二项式模型 $G^{d+1}(n,p)$，其中每条边独立地以概率 $p:\mathbb{N}\to[0,1]$ 出现。我们证明，对于所有对数-指数型 $p\ll n^{-d+\epsilon}$，超图的所有初等性质的概率收敛，特别关注 $p(n)\sim C/n^d$ 和 $p(n) \sim C\log(n)/n^d$ 这两个范围。对于每个这样的函数 $p$，我们通过构造其几乎必然理论的完备化拓扑空间来统一表述。该空间是紧的、可度量的且完全不连通的，但进一步性质依赖于 $p$ 的范围。初等性质概率的收敛与空间上的博雷尔概率测度相关联。