余维数为 2 的局部环的切锥

设 $(S, \mathfrak n)$ 为正则局部环，$I \subseteq \mathfrak n^2$ 为 $S$ 的完美理想。已知 $I$ 的最小生成元个数的精确上界可用 $R=S/I$ 的希尔伯特函数表示。从理想 $I$ 的信息（例如最小生成元个数）出发，一项困难的任务是找到定义 $R$ 的切锥的首项理想 $I^*$ 的最小生成元个数的良好界限，或给出其分次结构的信息。受 S.C. Kothari、S. Goto 等人关于正则局部环中完全交 $I=(f,g)$ 的首项理想的论文启发，我们给出了 ht$(I)=2$ 时的结果。若 $I$ 为完全交，我们证明 $R$ 的希尔伯特函数决定了首项理想的分次贝蒂数，并由此重新得到了前述论文的大部分结果。当 $\nu(I) >2$ 时，描述更为复杂；当 $\nu(I)=3$ 时，可进行细致研究。文中给出了若干说明我们结果的例子。