方程的扰动何时保持正规锥

设 $(R,\mathfrak m)$ 为局部环，$I, J$ 为 $R$ 的任意两个理想。令 $\operatorname{gr}_J(R/I)$ 表示 $R/I$ 关于 $J$ 的伴随环，其在几何中对应于正规锥。本文的主要结果表明，若 $I = (f_1,...,f_r)$，其中 $f_1,...,f_r$ 是一条 $J$-滤子正则序列，则存在一个数 $N$，使得若 $f_i' \equiv f_i \mod J^N$ 且 $I' = (f_1',...,f_r')$，则有 $\operatorname{gr}_J(R/I) \cong \operatorname{gr}_J(R/I')$。若 $J$ 是一个 $\mathfrak m$-准素理想，该结果蕴含了 Srinivas 与 Trivedi 关于小扰动下 Hilbert-Samuel 函数不变性的一个长期猜想，该猜想最近由 Ma、Quy 与 Smirnov 解决。作为一个副产品，$I$ 与 $I'$ 关于 $J$ 的 Artin-Rees 数相同。此外，我们给出了具有上述性质的最小数字 $N$ 的显式上界。这些结果解决了 Ma、Quy 与 Smirnov 提出的两个问题。关于 Achilles-Manaresi 函数、关系类型、Castelnuovo-Mumford 正则性、$R/I$ 关于 $J$ 的 Rees 代数的 Cohen-Macaulay 性与 Gorenstein 性在小扰动下的不变性，还有其他有趣推论。我们还证明了主要结果的一个逆，表明 $I$ 由一条 $J$-滤子正则序列生成这一条件对其成立是最佳可能的。主要结果也可推广到关于理想滤子的扰动。作为一个推论，若 $R$ 是幂级数环，$f_1,...,f_r$ 是一条滤子正则序列，且对充分大的 $n$，$f_i'$ 是 $f_i$ 的 $n$-喷射，则 $I$ 与 $I'$ 关于任意 Noether 单项式序具有相同的初始理想。该推论的一个特例是 Adamus 与 Seyedinejad 关于解析完全交奇点逼近的一个猜想。