Hurwitz 曲线的超奇异性

我们研究 Hurwitz 曲线何时是超奇异的。具体而言，我们证明曲线 $H_{n,\ell}: X^nY^\ell + Y^nZ^\ell + Z^nX^\ell = 0$（其中 $n$ 与 $\ell$ 互素）在有限域 $\mathbb{F}_{p}$ 上是超奇异的，当且仅当存在整数 $i$ 使得 $p^i \equiv -1 \bmod (n^2 - n\ell + \ell^2)$。若此条件成立，我们证明该曲线在 $\mathbb{F}_{p^{2i}}$ 上也是极大的。此外，我们给出了特征小于 37、亏格小于 5 的超奇异 Hurwitz 曲线的完整表。