具有奇异通量的连续性方程的叠加原理

绝对连续曲线$\mu:[0,T]\to \mathcal{P}_p(\mathbb{R}^d)$（$p>1$）的表示结果，其取值位于$\mathbb{R}^d$中具有有限$p$-矩的Borel概率测度的Wasserstein空间$(\mathcal{P}_p(\mathbb{R}^d),W_p)$中，为在测度论框架下研究演化PDE提供了关键工具。它们与连续性方程的测度值解的叠加原理密切相关。本文探讨了这些结果向$p=1$情形，以及仅在时间上具有有界变差的曲线$\mu:[0,+\infty)\to\mathcal{P}_1(\mathbb{R}^d)$的推广：在相应的连续性方程中，通量测度$\nu\in\mathcal{M}_{loc}([0,+\infty)\times\mathbb{R}^{d};\mathbb{R}^{d})$除了具有以速度场为特征的绝对连续部分外，还包含一个相对于$\mu$的非平凡奇异部分。首先，我们仔细讨论了${\rm BV}_{loc}([0,+\infty);\mathcal{P}_1(\mathbb{R}^d))$中的曲线与相应连续性方程的解之间的关系，并从中选出具有最小奇异（贡献于）通量$\nu$的解。我们证明，对于这些特定的解，可以仅由其速度场驱动，在一个增广相空间中关联一个“辅助”连续性方程。因此，对于该连续性方程，可以获得标准形式的叠加原理。通过这种方式，我们通过对时间和空间边缘分布的投影，导出了$(\mu,\nu)$解对的第一个概率表示。该表示涉及增广相空间中的Lipschitz轨迹，这些轨迹在时间上重新参数化并求解常微分方程的特征系统。最后，对于同一对$(\mu,\nu)$，我们还在实际时间区间上证明了基于BV曲线的叠加原理，对其在跳跃点处的行为提供了精细描述。