具有 Hellinger-Kantorovich 正则系数的非齐次连续性方程的叠加原理

我们研究非齐次连续性方程 $\partial_t \rho_t + {\rm div}(v\rho_t) = g \rho_t$ 的测度值解，其中系数 $v$ 和 $g$ 具有低正则性。针对正测度解和系数证明了一种新的叠加原理，这些系数满足最近引入的动态 Hellinger-Kantorovich 能量有限。该原理将解分解为曲线 $t \mapsto h(t)\delta_{\gamma(t)}$，这些曲线在适当意义下满足特征系统 $\dot \gamma(t) = v(t, \gamma(t))$、$\dot h(t) = g(t, \gamma(t)) h(t)$。特别地，它将已有的叠加原理推广到 $g$ 的低正则性情形，此时关于 $h$ 的特征不唯一。给出了该原理的两个应用。第一，若特征在其可能消失时间之前唯一，则获得非齐次连续性方程最小全变分解的唯一性。第二，刻画了动态 Hellinger-Kantorovich 型正则化子的极值点。此类正则化子出现在例如动态反问题与动态最优传输的背景中。