含空间异质性动力学方程的速度平均正则性

本研究探讨了具有空间异质性的动力学方程的正则性。近期进展表明，在自然非退化条件下，$L^p$ ($p>1$) 中弱解 $h$ 的速度平均具有强 $L^1_{\text{loc}}$ 紧性。我们为具有 $\boldsymbol{x}$ 依赖漂移向量 $\mathfrak{f} = \mathfrak{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\lambda})$ 的方程建立了正则性估计，该漂移向量满足非退化条件的定量版本。我们证明，对于任意足够正则的 $\rho(\cdot)$，映射 $(t,\boldsymbol{x}) \mapsto \int \rho(\boldsymbol{\lambda}) h(t,\boldsymbol{x},\boldsymbol{\lambda})\, d\boldsymbol{\lambda}$ 属于分数阶 Sobolev 空间 $W_{\text{loc}}^{\beta,r}$，其中正则性指数 $\beta\in (0,1)$ 和可积性指数 $r \geq 1$。虽然此类估计对于 $\boldsymbol{x}$ 无关的漂移向量 $\mathfrak{f}=\mathfrak{f}(\boldsymbol{\lambda})$ 早已为人所知，但这是首次在一般异质环境下给出定量正则性估计。作为应用，我们获得了具有非线性通量和 $L^\infty$ 初值的异质守恒律熵解的正则性估计。