有限费米系统上仪器不变高斯量子操作的结构

设 ${\mathcal H}_1$ 为一个有限维复希尔伯特空间。设 $\psi\mapsto Z(\psi)$ 为 ${\mathcal H}_1$ 上的一个共轭反对称关系（CAR）场，作用于希尔伯特空间 ${\mathord{\mathscr K}}$ 上且不可约。CAR 场生成的 $*$-代数 ${\mathscr A}_{{\mathcal H}_1}$ 就是 ${\mathscr K}$ 上所有算子。然而，CAR 场为 ${\mathscr A}_{{\mathcal H}_1}$ 赋予额外结构，我们关注与之协调的量子操作。特别地，存在一个仪器自同构群，由 ``second quantizing'' $\psi \mapsto e^{it}\psi$ 生成。仪器自同构群的固定点代数 ${\mathscr G}_{{\mathcal H}_1}$ 是 ${\mathscr A}_{{\mathcal H}_1}$ 的子代数，由 Araki 与 Wyss 研究。它包含重要一类状态的密度矩阵，即仪器不变高斯状态（GIG），记为 ${\mathfrak S}_{GIG}$。我们的焦点是作用于 ${\mathscr A}_{{\mathcal H}_1}$ 上将 ${\mathfrak S}_{GIG}$ 映射到自身的半群 $\{e^{t{\mathscr L}}\}_{t\geq 0}$。每个 $e^{t{\mathscr L}}$ 都是单射的，我们第一个主要结果是给出作用于 ${\mathscr G}_{{\mathcal H}_1}$ 且将 ${\mathfrak S}_{GIG}$ 映射到自身的量子操作的结构定理。我们将其用于研究作用于 ${\mathscr G}_{{\mathcal H}_1}$ 且将 ${\mathfrak S}_{GIG}$ 映射到自身的半群。我们的第二个主要结果是表明它们由对 $(G,A)$ 参数化，其中 $G$ 为 ${\mathcal H}_1$ 上的收缩半群生成器，$0 \leq A \leq -G -G^*$。随后我们证明这些半群对完整 CAR 代数 ${\mathscr A}_{{\mathcal H}_1}$ 拥有自然延拓。若对 $(G,A)$ 作进一步假设，还可获得进一步结果。