大规模网络结构中的稳定性到不稳定性的转变

我们考察在由网络噪声（模糊结构的虚假链接）、热浴温度 $T$ 和系统尺寸 $N$ 引起的无序存在下，试图识别大型复杂网络中的结构（社区检测）时，容易相、困难相和不可解相之间的相变。当存在相变时，低温或低噪声下的转变对应于熵驱动（或“无序致有序”）退火效应，其中稳定性可能随温度或噪声的增加而先增强，然后在足够高的温度或噪声下变得不可解。相互竞争的可行解（例如不同自然尺度下的解）之间的额外转变也是可能的。当通过动力学方法分析社区结构时，先前已识别出“混沌型”转变 [Phil. Mag. {\bf 92} 406 (2012)]。自旋玻璃型复杂性转变与动力学类似物中向混沌的转变之间的对应关系，可能扩展到其他困难的计算问题。在这项工作中，我们研究具有大量社区的大型网络。我们推断，对于任何正温度 $T$，在 $q$ 与节点数 $N$ 之比恒定的情况下，大系统在 $N$ 趋于无穷的极限下渐近地趋向不可解性。低于该温度结构识别或许可能的温度的渐近行为 $T_\times =O[1/\log q]$ 下降缓慢，因此对于实际的系统尺寸，在低温下仍存在一个可及的、且通常容易的全局可解相。我们进一步利用多元 Tutte 多项式证明，对于一般的 Potts 模型，增加 $q$ 等效于增加 $T$，导致在低温下出现类似的稳定区域。鉴于 Tutte 多项式和 Jones 多项式之间的关系，我们的结果进一步暗示了上述复杂性转变与随机纽结相关的转变之间的联系。