具有多重层级大时滞的时滞微分方程的谱

我们证明了线性时滞微分方程 $x'(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau_{1})+\ldots+A_{n}x(t-\tau_{n})$ 在多重层级大时滞 $1\ll\tau_{1}\ll\tau_{2}\ll\ldots\ll\tau_{n}$ 下的谱分裂为两个不同的部分：强谱与伪连续谱。当时滞趋于无穷时，强谱收敛于 $A_{0}$ 的特定特征值，即所谓的渐近强谱。而伪连续谱中的特征值收敛于虚轴。我们证明在重新标度后，伪连续谱呈现出对应于时间尺度 $\tau_{1},\tau_{2},\ldots,\tau_{n}$ 的层级结构。该层级的每一层由易于计算的谱流形近似。谱流形之集构成所谓的渐近连续谱。研究表明，渐近强谱与渐近连续谱相对于虚轴的位置完全决定了稳定性。特别地，一种典型的失稳由对应于时间尺度 $\tau_{n}$ 的 $n$ 维谱流形的穿越所介导。