准正则 Sturm--Liouville 算子的谱 $\zeta$ 函数

在本文中，我们分析与界于下界的准正则 Sturm--Liouville 算子相关联的谱 $\zeta$ 函数。通过利用格林函数形式，我们找到特征函数，该函数在给定自伴扩展 $T_{A,B}$ 的情况下隐式提供特征值。随后利用特征函数构建了 $T_{A,B}$ 谱 $\zeta$ 函数的 contour 积分表示。通过假设特征函数的渐近展开的一般形式，我们描述了 $\zeta$ 函数向复平面更大区域的解析延续。我们还present了一种计算 $T_{A,B}$ 谱 $\zeta$ 函数在所有正整数处的值的方法。我们提供了两个例子来说明本文中develop的方法：广义 Bessel 算子和 Legendre 算子。我们show，在广义 Bessel 算子的情况下，谱 $\zeta$ 函数在原点处发展出一个支点，而在 Legendre 算子的情况下则更令人惊讶地在其所有非正整数值处呈现支点。