正则 Sturm-Liouville 算子的谱 zeta 函数与 zeta 正则化泛函行列式

本文的主要目标是采用最近发展的一种统一方法计算预解式与 $\zeta$-函数的迹，以高效计算与正则（三系数）自伴 Sturm--Liouville 微分表达式 $\tau$ 相关的谱 $\zeta$-函数在正整数处的值。依据底层边界条件，我们将 $\zeta$-函数值用 $\tau y = z y$ 的基本解系及其关于谱点 $z=0$ 的展开式表示。此外，我们通过 Liouville 变换给出 $\zeta$-函数的完整解析延拓，并以该基本解系的特定集合显式表达 $\zeta$-正则化泛函行列式。文中提供了一系列例证这些方法适用性的例子，包括紧区间上带零势、分段常数势和线性势的正则 Schr\"{o}dinger 算子。