四分之一平面上 Grushin 型算子的谱分析

我们研究了算子 $$G_{\alpha,\beta}=-\Big(\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2\a+1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \Big) -r^2 \Big(\frac{\partial^2}{\partial s^2}+\frac{2\b+1}{s}\frac{\partial}{\partial s} \Big),$$ $\a,\b\in\R$，其定义域 $\D\, G_{\alpha,\beta}=C^\infty(\R^2_+)\subset L^2(\R^2_+,r^{2\a+1}s^{2\b+1}drds)$ 的自伴扩张的谱性质，对于某些特定的 $\a,\b$ 值，它是 Grushin 算子的双径向部分。或者，我们研究了 $G_{\alpha,\beta}$ 的 Liouville 形式 $G^\circ_{\alpha,\beta}$，它是 $L^2(\R^2_+, drds)$ 上的一个对称非负算子。使用的主要工具之一是一种结合了 Laguerre 缩放变换和 Hankel 变换的积分变换。$G^\circ_{\alpha,\beta}$ 的自伴扩张 $\mathbb{G}^\circ_{\alpha,\beta}$ 是基于该变换定义的，并给出了它们的谱分解。本文还提出了另一种基于半双线性形式技术构造 $G^\circ_{\alpha,\beta}$ 自伴扩张的方法，随后对这两种方法进行了比较。我们还建立了对应于 $\mathbb{G}^\circ_{\alpha,\beta}$ 的热核的闭合形式。