一个缓存游戏开放问题的解

在Alpern等人引入的缓存游戏中，一个隐藏者能挖掘总固定深度归一化为$1$，在$n$个离散位置中埋藏固定数量物体。一个搜索者能挖掘总深度$h$搜索位置以寻找所有隐藏物体。如果他做到，他赢，否则隐藏者赢。这个零和游戏即使对小参数值也复杂，对于$2$个隐藏物体情况仅当游戏在最多$3$个位置进行时完全解决。对于某些$h$值，在$4$个位置藏$2$物体的游戏解已知，但其余情况的解是最近Fokkink等人强调的开放问题。这里我们解决其余情况在$4$位置藏$2$物体的游戏。我们也给出游戏的一些更一般结果，特别使用几何论证表明当在$n$位置藏$2$物体且$n \rightarrow \infty$，游戏值渐近等于$h/n$对于$h \ge n/2$。