Fock空间与完全Pick空间的Smirnov类

对Hilbert函数空间 $\mathcal H$，Smirnov类 $\mathcal N^+(\mathcal H)$ 定义为可表为 $\mathcal H$ 的有界乘子之比的函数集合，且分母对 $Mult(\mathcal H)$ 的作用是循环的。已知对具有完全Nevanlinna-Pick (CNP) 核的空间 $\mathcal H$，包含关系 $\mathcal H\subset \mathcal N^+(\mathcal H)$ 成立。我们给出此事实的一个新证明，其中包含新结论：每个 $h\in\mathcal H$ 均可表为比值 $b/a\in\mathcal N^+(\mathcal H)$，且 $1/a$ 已属于 $\mathcal H$。对CNP核的证明基于另一具有独立意义的Smirnov型结果。我们考虑自由（非交换）全纯函数的Fock空间 $\mathfrak F^2_d$ 及其有界（左）乘子代数 $\mathfrak F^\infty_d$。我们引入（左）自由Smirnov类 $\mathcal N^+_{left}$ 并证明每个 $H \in \mathfrak F^2_d$ 均属于它。随后通过将球上的全纯函数提升为自由全纯函数并应用自由Smirnov定理，得到CNP核的Smirnov定理证明。