自由群子集电流空间上的交集泛函

Kapovich 和 Nagnibeda 引入了秩 $N\geq 2$ 的自由群 $F_N$ 上的子集电流空间 $\mathcal{S} {\rm Curr}(F_N)$，该空间可视为 $F_N$ 所有有限生成子群的共轭类集合的测度论完备化。我们通过将所有双陪集 $HgK\ (g\in F_N)$ 上的约化秩 $\overline{\rm rk}(H\cap gKg^{-1})$ 求和，定义了 $F_N$ 的两个有限生成子群 $H$ 和 $K$ 的乘积 $\mathcal{N} (H,K)$，并将该乘积 $\mathcal{N}$ 扩展为连续对称的 $\mathbb{R}_{\geq 0}$-双线性泛函 $\mathcal{N} \colon \mathcal{S} {\rm Curr} (F_N)\times \mathcal{S} {\rm Curr} (F_N)\to \mathbb {R}_{\geq 0}$。我们还回答了 Kapovich 和 Nagnibeda 提出的一个问题。$\mathcal{N}$ 的定义源于已被 Mineyev 证明的强化 Hanna Neumann 猜想，该猜想表述如下：对于 $F_N$ 的任意有限生成子群 $H$ 和 $K$，不等式 $\mathcal{N} (H,K)\leq \overline{{\rm rk}} (H) \overline{\rm rk} (K)$ 成立。作为我们定理的推论，该不等式被推广至子集电流的不等式。