神经网络集体动力学中最简单的问题：同步是否稳定？

对于脉冲神经网络，我们考虑了全局同步的稳定性问题，这可以说是此类网络中最简单的非平凡集体动力学。我们发现，即使这个最简单的动力学问题——同步的局部稳定性——也并非易解，需要新的方法才能解决。与常规线性稳定性理论中的单一稳定性矩阵不同，同步状态附近的动力学由大量线性算子决定。这一不寻常的性质在定性上依赖于网络拓扑，对于全局耦合的均匀网络可能可以忽略。然而，对于一般网络，算子的数量随网络规模呈指数增长。我们提出了精确处理这个多算子问题的方法。首先，基于Gershgorin和Perron-Frobenius定理，我们推导了特征值的界限，这些界限提供了关于同步过程的重要信息，但不足以确定同步状态的渐近稳定性或不稳定性。然后，我们利用简单的图论考虑，对拓扑强连通网络进行了渐近稳定性的完整分析。对于耗散（泄漏）振荡神经元之间的抑制性相互作用，同步状态是稳定的，与参数和网络连接性无关。这些结果表明，除非耦合是均匀且全连接的，否则脉冲样相互作用在网络动力系统中，特别是在生物同步动力学中，起着深远的作用。