线图与幂树的符号数

设 $G$ 为一个图，$A(G)$ 为其邻接矩阵。$G$ 的符号数 $s(G)$ 定义为 $A(G)$ 的正惯性指数与负惯性指数之差。Ma 等人 [Positive and negative inertia index of a graph, Linear Algebra and its Applications 438(2013)331-341] 猜想 $-c_3(G)\leq s(G)\leq c_5(G)$，其中 $c_3(G)$ 和 $c_5(G)$ 分别表示 $G$ 中长度为 $4k+3$ 和 $4k+5$（$k \ge 0$ 为整数）的圈的数量，并证明了该猜想对树、单圈图及双圈图成立。已知若 $G$ 为二部图则 $s(G)=0$，且现有结果表明符号数与图的奇圈或非二部性密切相关。本文证明了该猜想对线图和幂树成立。