具有相同时序序列的树与非树图对

图中顶点 $x$ 的时序（status）是 $x$ 与所有其他顶点之间的距离之和。设 $G$ 为一个连通图。$G$ 的时序序列是其所有顶点的时序按非减序排列的列表。若 $G$ 的所有顶点时序互异，则称 $G$ 为时序单射的。设 $G$ 为图族 $\mathscr{F}$ 中的一个图，其时序序列为 $s$。若 $G$ 是 $\mathscr{F}$ 中时序序列为 $s$ 的唯一图，则称 $G$ 在 $\mathscr{F}$ 中时序唯一。2011 年，J.L. Shang 与 C. Lin 提出了如下两个猜想。猜想 1：树与非树图不可能具有相同的时序序列。猜想 2：任何时序单射的树在所有连通图中时序唯一。我们否定地解决了这两个猜想。对于每个整数 $n\ge 10$，我们构造一个树 $T_n$ 与一个单圈图 $U_n$，二者阶均为 $n$，并具有如下两个性质：(1) $T_n$ 与 $U_n$ 具有相同的时序序列；(2) 对于 $n\ge 15$，若 $n$ 模 $4$ 同余于 $3$，则 $T_n$ 为时序单射的，且在任意四个连续的偶阶中，至少有一个阶 $n$ 使得 $T_n$ 为时序单射的。